一次函数的图像与性质

八年级 · 45 分钟

学习目标
1. 由图像/解析式判断增减性：k>0 增，k<0 减。
2. 指出图像与 y 轴交于 (0,b)，说出 b 的几何意义。
3. 用"改一个量、其余不变"观察，把生活问题写成一次函数。
4. 明确 k≠0 的必要性。

提问：今天我们用什么方法研究这个函数？

生活情境

出租车起步价 8 元（含 2 km），之后每 km 1.5 元（仅超出部分计费）。

提问：费用 y 与里程 x 是什么关系？能直接写成 y=kx+b 吗？

列式：y = 1.5(x−2) + 8 = 1.5x + 5。
说明：该式仅适用于 x>2；b=5 是表达式延长线与 y 轴交点的纵坐标（纵截距）。

一次函数的形式

y = kx + b (k≠0)

强调：k≠0。若 k=0 退化为常数函数 y=b，图像是水平直线。

提问：若 k=0，图像是什么？为什么不算一次函数？

课堂约定：k≠0 才叫一次函数。

k 与增减性

红线 y=2x+1（k=2>0）；蓝线 y=−x+1（k=−1<0）。
k>0 → y 随 x 增大而增大；k<0 → y 随 x 增大而减小。

预测：两线都过 (0,1)。x 从 0 增大到 2，两条线的 y 会怎样变？先猜一猜。

观察1：同样从 (0,1) 出发，为什么一条升、一条降？
观察2：x 都增加 2，两条线的 y 变化量相同吗？为什么？

b 与纵轴交点

图像与 y 轴交于 (0,b)；b 决定纵轴交点的纵坐标；
k 相同且 b 不同 → 平行（b 相同则重合）。

提问：y=−x+4 与 y 轴交于哪一点？

两点确定表达式

方法：已知两点 (x1,y1)、(x2,y2) →
k = (y2−y1)/(x2−x1)，再代入一点求 b。
适用条件：须 x1≠x2（两点横坐标不同）；若算得 k=0，则不是一次函数。

例题：过 (0,1)、(2,5) → k=2，b=1 → y=2x+1。

提问：过 (0,−3)、(1,−1) 的表达式？

随堂练习

题1（k≠0）：y=(m−3)x+2 是一次函数，求 m 的范围。

题2（增减性）：y=−2x+1，x 增大时 y？过 A(1,a)、B(2,b)，比较 a、b。

题3（纵轴交点）：y=3x+b 过 (0,−4)，求 b 与几何意义。

对照黑板约定自检，同桌交换互判（答案见教师文件）。

小结与出口题

小结：k 定方向（增减），b 定纵轴交点的纵坐标 (0,b)；方法 POE；k≠0 才叫一次函数。

出口题：自编一道"改一个量看变化"的小题，并说明它考查什么。

提问：今天哪条结论你还需要再练？